单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
2021年5月22日，我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面．已知火星与地球的最近距离约为55000000千米，数据55000000用科学记数法表示为
$\text{A.}$ $55 \times 10^{6}$
$\text{B.}$ $5.5 \times 10^{7}$
$\text{C.}$ $5.5 \times 10^{8}$
$\text{D.}$ $0.55 \times 10^{8}$
能说明命题“若 为$x$无理数，则$x^2$ 也是无理数”是假命题的反例是 （ ）
$\text{A.}$ $x=\sqrt{2}-1$
$\text{B.}$ $x=\sqrt{2}+1$
$\text{C.}$ $x=3 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $x=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
已知三个点 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right),\left(x_{3}, y_{3}\right)$ 在反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 的图象上, 其中 $x_{1} < x_{2} < 0 < x_{3}$, 下列结论中正确的是 （ ）
$\text{A.}$ $y_{2} < y_{1} < 0 < y_{3}$
$\text{B.}$ $y_{1} < y_{2} < 0 < y_{3}$
$\text{C.}$ $y_{3} < 0 < y_{2} < y_{1}$
$\text{D.}$ $y_{3} < 0 < y_{1} < y_{2}$
将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（ ）
$\text{A.}$ 等腰三角形
$\text{B.}$ 直角三角形
$\text{C.}$ 矩形
$\text{D.}$ 菱形
5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是 （ ）
$\text{A.}$ 中位数是 $33^{\circ} \mathrm{C}$
$\text{B.}$ 众数是 $33^{\circ} \mathrm{C}$
$\text{C.}$ 平均数是 $\frac{197^{\circ}}{7} \mathrm{C}$
$\text{D.}$ 4 日至 5 日最高气温下降幅度较大
已知平面内有 e $O$ 和点 $A, B$, 若e $O$ 半径为 $2 \mathrm{~cm}$, 线段 $O A=3 \mathrm{~cm}, O B=2 \mathrm{~cm}$, 则直线 $A B$ 与 e $O$ 的位置关系为 （ ）
$\text{A.}$ 相离
$\text{B.}$ 相交
$\text{C.}$ 相切
$\text{D.}$ 相交或相切
为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为 元，根据题意可列方程为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{40}{1.5 x}-\frac{30}{x}=20$
$\text{B.}$ $\frac{40}{x}-\frac{30}{1.5 x}=20$
$\text{C.}$ $\frac{30}{x}-\frac{40}{1.5 x}=20$
$\text{D.}$ $\frac{30}{1.5 x}-\frac{40}{x}=20$
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}, A B=A C=5$, 点 $D$ 在 $A C$ 上, 且 $A D=2$, 点 $E$ 是 $A B$ 上 的动点, 连结 $D E$, 点 $F, G$ 分别是 $B C$ 和 $D E$ 的中点, 连结 $A G, F G$, 当 $A G=F G$ 时, 线段 $D E$ 长为 （ ）
$\text{A.}$ $\sqrt{13}$
$\text{B.}$ $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{41}}{2}$
$\text{D.}$ $4$
已知点 $P(a, b)$ 在直线 $y=-3 x-4$ 上, 且 $2 a-5 b \leqslant 0$, 则下列不等式一定成立的是 （ ）
$\text{A.}$ $\frac{a}{b} \leqslant \frac{5}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{a}{b} \geqslant \frac{5}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{b}{a} \geqslant \frac{2}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{b}{a} \leqslant \frac{2}{5}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知二元一次方程 $x+3 y=14$, 请写出该方程的一组整数解 （ ）
如图,在直角坐标系中, $\triangle A B C$ 与 $\triangle O D E$ 是位似图形, 则它们位似中心的坐标是 （ ）
观察下列等式: $1=1^{2}-0^{2}, 3=2^{2}-1^{2}, 5=3^{2}-2^{2}, \ldots$ 按此规律, 则第 $n$ 个等式为（ ）
如图, 在Y $A B C D$ 中, 对角线 $A C, B D$ 交于点 $O, A B \perp A C, A H \perp B D$ 于点 $H$, 若 $A B=2$, $B C=2 \sqrt{3}$, 则 $A H$ 的长为 （ ）
看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 （ ）
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=30^{\circ}, \angle A C B=45^{\circ}, A B=2$, 点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $A B$ 方向运动, 到达点 $B$ 时停止运动, 连结 $C P$, 点 $A$ 关于直线 $C P$ 的对称点为 $A^{\prime}$, 连结 $A^{\prime} C, A^{\prime} P$. 在运 动过程中, 点 $A^{\prime}$ 到直线 $A B$ 距离的最大值是 （ ） ; 点 $P$ 到达点 $B$ 时, 线段 $A^{\prime} P$ 扫过的面积 为 （ ）
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（1）计算: $2^{-1}+\sqrt{12}-\sin 30^{\circ}$;
（2）化简并求值: $1-\frac{a}{a+1}$, 其中 $a=-\frac{1}{2}$.
小敏与小霞两位同学解方程 $3(x-3)=(x-3)^{2}$ 的过程如下框: 的解答过程.
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√ ”；若错误请在框内打“X”，并写出你的解答过程．
如图, 在 $7 \times 7$ 的正方形网格中, 网格线的交点称为格点, 点 $A, B$ 在格点上, 每一个小正 方形的边长为 1 .
(1) 以 $A B$ 为边画菱形, 使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可).
(2) 计算你所画菱形的面积.
根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米 米为“中途期”，80米 米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度 与路程 之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．
（1） 是关于 的函数吗？为什么？
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．
某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生2021年初的视力数据，并调取该批学生2020年初的视力数据，制成如图统计图（不完整）
青少年视力健康标准
根据以上信息, 请解答:
(1) 分别求出被抽查的 400 名学生 2021 年初轻度视力不良 (类别 B) 的扇形圆心角度数和 2020 年初视力正常 (类别 $A$ ) 的人数.
(2) 若 2021 年初该市有八年级学生 2 万人, 请估计这些学生 2021 年初视力正常的人数比 2020 年初增加了多少人?
(3)国家卫健委要求, 全国初中生视力不良率控制在 69\% 以内. 请估计该市八年级学生 2021 年初视力不良率是否符合要求? 并说明理由.
一酒精消毒瓶如图 1, $A B$ 为喷嘴, $\triangle B C D$ 为按压柄, $C E$ 为伸缩连杆, $B E$ 和 $E F$ 为导管,
其示意图如图 2, $\angle D B E=\angle B E F=108^{\circ}, B D=6 \mathrm{~cm}, B E=4 \mathrm{~cm}$. 当按压柄 $\triangle B C D$ 按压到底
时, $B D$ 转动到 $B D^{\prime}$, 此时 $B D^{\prime} / / E F$ (如图 3).
(1) 求点 $D$ 转动到点 $D^{\prime}$ 的路径长;
(2) 求点 $D$ 到直线 $E F$ 的距离 (结果精确到 $0.1 \mathrm{~cm}$ ).
(参考数据: $\sin 36^{\circ} \approx 0.59, \cos 36^{\circ} \approx 0.81, \tan 36^{\circ} \approx 0.73, \sin 72^{\circ} \approx 0.95, \cos 72^{\circ} \approx 0.31$, $\tan 72^{\circ} \approx 3.08$ )
已知二次函数 $y=-x^{2}+6 x-5$.
(1) 求二次函数图象的顶点坐标;
（2）当 $1 \leqslant x \leqslant 4$ 时, 函数的最大值和最小值分别为多少?
(3) 当 $t \leqslant x \leqslant t+3$ 时, 函数的最大值为 $m$, 最小值为 $n$, 若 $m-n=3$, 求 $t$ 的值.
小王在学习浙教版九上课本第 72 页例 2 后, 进一步开展探究活 动): 将一个矩形 $A B C D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $\alpha\left(0^{\circ} < \alpha \leqslant 90^{\circ}\right)$, 得到矩形 $A B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, 连结 $B D$. [探究 2] 如图 2, 连结 $A C^{\prime \prime}$, 过点 $D^{\prime}$ 作 $D^{\prime} M / / A C^{\prime}$ 交 $B D$ 于点 $M$. 线段 $D^{\prime} M$ 与 $D M$ 相等吗? 请说明理由.
[探究 3] 在探究 2 的条件下, 射线 $D B$ 分别交 $A D^{\prime}, A C^{\prime}$ 于点 $P, N$ (如图 3), 发现线段 $D N$, $M N, P N$ 存在一定的数量关系, 请写出这个关系式, 并加以证明.
