单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x>0 \\ b, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则
$\text{A.}$ $a b=\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $a b=-\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $a b=0$.
$\text{D.}$ $a b=2$.
设函数 $f(x)$ 可导, 且 $f(x) f^{\prime}(x)>0$, 则
$\text{A.}$ $f(1)>f(-1)$.
$\text{B.}$ $f(1) < f(-1)$.
$\text{C.}$ $|f(1)|>|f(-1)|$.
$\text{D.}$ $|f(1)| < |f(-1)|$.
函数 $f(x, y, z)=x^2 y+z^2$ 在点 $(1,2,0)$ 处沿向量 $\boldsymbol{n}=(1,2,2)$ 的方向导数为
$\text{A.}$ 12
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 2
甲、乙两人赛跑, 计时开始时,甲在乙前方 10 (单位: $\mathrm{m}$ ) 处, 图中, 实线表示甲的速度曲线 $v=v_1(t)$ (单位: $\left.\mathrm{m} / \mathrm{s}\right)$, 虚线表示乙的速度曲线 $v=v_2(t)$, 三 块阴影部分面积的数值依次是 $10,20,3$. 计时开始后乙追上 甲的时刻记为 $t_0$ (单位: $\left.\mathrm{s}\right)$, 则
$\text{A.}$ $t_0=10$.
$\text{B.}$ $15 < t_0 < 20$.
$\text{C.}$ $t_0=25$.
$\text{D.}$ $t_0>25$.
设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $n$ 维单位列向量, $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵,则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{E}+2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{E}-2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆.
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似, $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似, $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 不相似.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 不相似, $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 不相似, $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 不相似.
设 $A, B$ 为随机事件. 若 $0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1$, 则 $P(A \mid B)>P(A \mid \bar{B})$ 的充分必要条件 是
$\text{A.}$ $P(B \mid A)>P(B \mid \bar{A})$.
$\text{B.}$ $P(\underline{B} \mid A) < P(B \mid \bar{A})$.
$\text{C.}$ $P(\bar{B} \mid A)>P(B \mid \bar{A})$.
$\text{D.}$ $P(\bar{B} \mid A) < P(B \mid \bar{A})$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $N(\mu, 1)$ 的简单随机样本, 记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, 则下列结论中 不正确的是
$\text{A.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布.
$\text{B.}$ $2\left(X_n-X_1\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布.
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布.
$\text{D.}$ $n(\bar{X}-\mu)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为线性无关的 3 维列向量组, 则向量组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_3$ 的秩 为
$\text{A.}$
$\text{B.}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知函数 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$, 则 $f^{(3)}(0)=$
微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+3 y=0$ 的通解为 $y=$
若曲线积分 $\int_L \frac{x \mathrm{~d} x-a y \mathrm{~d} y}{x^2+y^2-1}$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 < 1\right\}$ 内与路径无关, 则 $a=$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^{n-1}$ 在区间 $(-1,1)$ 内的和函数 $S(x)=$
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=0.5 \Phi(x)+0.5 \Phi\left(\frac{x-4}{2}\right)$, 其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函 数, 则 $E(X)=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(u, v)$ 具有 2 阶连续偏导数,$y=f\left(\mathrm{e}^x, \cos x\right)$, 求 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0},\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}$.
求
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2} \ln \left(1+\frac{k}{n}\right) \text {. }
$$
已知函数 $y(x)$ 由方程 $x^3+y^3-3 x+3 y-2=0$ 确定, 求 $y(x)$ 的极值.
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上具有 2 阶导数, 且 $f(1)>0, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x} < 0$. 证明:
( I ) 方程 $f(x)=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在一个实根;
(II) 方程 $f(x) f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在两个不同实根.
f【0】=0
设薄片型物体 $S$ 是圆雉面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $z^2=2 x$ 割下的有限部分, 其上任一点的密度为 $\mu(x, y, z)=9 \sqrt{x^2+y^2+z^2}$. 记圆雉面与柱面的交线为 $C$.
(I) 求 $C$ 在 $x O y$ 平面上的投影曲线的方程;
(II) 求 $S$ 的质量 $M$.
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 有 3 个不同的特征值, 且 $\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2$.
(I ) 证明 $r(\boldsymbol{A})=2$;
(II) 设 $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$, 求方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2-x_2^2+a x_3^2+2 x_1 x_2-8 x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 下的标准形 为 $\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2$, 求 $a$ 的值及一个正交矩阵 $Q$.
设随机变量 $X, Y$ 相互独立, 且 $X$ 的概率分布为 $P\{X=0\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2}, Y$ 的概率密度为 $f(y)= \begin{cases}2 y, & 0 < y < 1, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}$
(I) 求 $P\{Y \leqslant E(Y)\}$;
( II ) 求 $Z=X+Y$ 的概率密度.
某工程师为了解一台天平的精度, 用该天平对一物体的质量做 $n$ 次测量, 该物体的质量 $\mu$ 是 已知的. 设 $n$ 次测量结果 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立且均服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 该工程师记录 的是 $n$ 次测量的绝对误差 $Z_i=\left|X_i-\mu\right|(i=1,2, \cdots, n)$. 利用 $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 估计 $\sigma$.
(I) 求 $Z_1$ 的概率密度;
(II) 利用一阶矩求 $\sigma$ 的矩估计量;
(III) 求 $\sigma$ 的最大似然估计量.