单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $y=f(x)$ 具有二阶导数, 且 $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0, \Delta x$ 为自变量 $x$ 在点 $x_{0}$ 处的增量, $\Delta y$ 与 $\mathrm{d} y$ 分别为 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处对应的增量与微分, 若 $\Delta x>0$, 则 ( )
$\text{A.}$ $0 < \mathrm{d} y < \Delta y$.
$\text{B.}$ $0 < \Delta y < \mathrm{d} y$.
$\text{C.}$ $\Delta y < \mathrm{d} y < 0$.
$\text{D.}$ $\mathrm{d} y < \Delta y < 0$.
设 $f(x, y)$ 为连续函数, 则 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 等于 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$.
$\text{B.}$ $\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$.
$\text{C.}$ $\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$.
$\text{D.}$ $\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$.
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛, 则级数( )
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 收敛.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 收敛.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} a_{n+1}$ 收敛.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}+a_{n+1}}{2}$ 收敛.
设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数,且 $\varphi_{y}^{\prime}(x, y) \neq 0$. 已知 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y)$ $=0$ 下的一个极值点, 下列选项正确的是 ( )
$\text{A.}$ 若 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$, 则 $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$.
$\text{B.}$ 若 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$, 则 $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$.
$\text{C.}$ 若 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$, 则 $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$.
$\text{D.}$ 若 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$, 则 $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$.
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 均为 $n$ 维列向量, $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵,下列选项正确的是( )
$\text{A.}$ 若 ${\alpha}_{1}, {\alpha}_{2}, \cdots, {\alpha}_{s}$ 线性相关, 则 ${A} {\alpha}_{1}, {A} {\alpha}_{2}, \cdots, {A} {\alpha}_{s}$ 线性相关.
$\text{B.}$ 若 ${\alpha}_{1}, {\alpha}_{2}, \cdots, {\alpha}_{s}$ 线性相关, 则 ${A} {\alpha}_{1}, {A} {\alpha}_{2}, \cdots, {A} {\alpha}_{s}$ 线性无关.
$\text{C.}$ 若 ${\alpha}_{1}, {\alpha}_{2}, \cdots, {\alpha}_{s}$ 线性无关, 则 ${A} {\alpha}_{1}, {A} {\alpha}_{2}, \cdots, {A} {\alpha}_{s}$ 线性相关.
$\text{D.}$ 若 ${\alpha}_{1}, {\alpha}_{2}, \cdots, {\alpha}_{s}$ 线性无关, 则 ${A} {\alpha}_{1}, {A} {\alpha}_{2}, \cdots, {A} {\alpha}_{s}$ 线性无关.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵, 将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 行加到第 1 行得 $\boldsymbol{B}$, 再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 1 列的 $-1$ 倍加到第 2 列得 $\boldsymbol{C}$, 记 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$, 则 ( )
$\text{A.}$ $C=P^{-1} \boldsymbol{A P}$.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P A P ^ { - 1 }}$.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P A} \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}$.
设 $A, B$ 为随机事件, 且 $P(B)>0, P(A \mid B)=1$, 则必有 $(\quad)$
$\text{A.}$ $P(A \cup B)>P(A)$.
$\text{B.}$ $P(A \cup B)>P(B)$.
$\text{C.}$ $P(A \cup B)=P(A)$.
$\text{D.}$ $P(A \cup B)=P(B)$.
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right), Y$ 服从正态分布 $N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$, 且
$$
P\left\{\left|X-\mu_{1}\right| < 1\right\}>P\left\{\left|Y-\mu_{2}\right| < 1\right\},
$$
则必有 ( )
$\text{A.}$ $\sigma_{1} < \sigma_{2}$.
$\text{B.}$ $\sigma_{1}>\sigma_{2}$.
$\text{C.}$ $\mu_{1} < \mu_{2}$.
$\text{D.}$ $\mu_{1}>\mu_{2}$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x)}{1-\cos x}=$
微分方程 $y^{\prime}=\frac{y(1-x)}{x}$ 的通解是
设 $\Sigma$ 是锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的下侧, 则 $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3(z-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
点 $(2,1,0)$ 到平面 $3 x+4 y+5 z=0$ 的距离 $d=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right), \boldsymbol{E}$ 为 2 阶单位矩阵, 矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{E}$, 则 $|\boldsymbol{B}|=$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且均服从区间 $[0,3]$ 上的均匀分布, 由 $P\{\max \{X, Y\} \leqslant 1\}=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0\right\}$, 计算二重积分 $I=\iint_{D} \frac{1+x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $0 < x_{1} < \pi, x_{n+1}=\sin x_{n}(n=1,2, \cdots)$.
(I) 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在, 并求该极限;
(II) 计算 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right)^{\frac{1}{x_{n}^{2}}}$.
将函数 $f(x)=\frac{x}{2+x-x^{2}}$ 展开成 $x$ 的幂级数.
设函数 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有二阶导数, 且 $z=f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ 满足等式 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$.
(I) 验证 $f^{\prime \prime}(u)+\frac{f^{\prime}(u)}{u}=0$;
(II) 若 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$, 求函数 $f(u)$ 的表达式.
设在上半平面 $D=\{(x, y) \mid y>0\}$ 内, 函数 $f(x, y)$ 具有连续偏导数, 且对任意的 $t>0$ 都有$$
f(t x, t y)=t^{-2} f(x, y) .
$$
证明: 对 $D$ 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 $L$, 都有 $\oint_{L} y f(x, y) \mathrm{d} x-x f(x, y) \mathrm{d} y=0$.
已知非齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1, \\
4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1, \text { 有 } 3 \text { 个线性无关的解. } \\
a x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+b x_{4}=1
\end{array}\right.
$$
(I ) 证明方程组系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $r(\boldsymbol{A})=2$;
(II) 求 $a, b$ 的值及方程组的通解.
设 3 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的各行元素之和均为 3. 向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(-1,2,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,-1,1)^{\mathrm{T}}$ 是 线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的两个解.
(I) 求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值与特征向量;
(II) 求正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 和对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$, 使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda}$.
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}, & -1 < x < 0, \\ \frac{1}{4}, & 0 \leqslant x < 2, \\ 0, & \text { 其他. }\end{array}\right.$ 令 $Y=X^{2}, F(x, y)$ 为二维随机变 量 $(X, Y)$ 的分布函数, 求:
(I) $Y$ 的概率密度 $f_{Y}(y)$;
( II ) $F\left(-\frac{1}{2}, 4\right)$.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}\theta, & 0 < x < 1, \\ 1-\theta, & 1 \leqslant x < 2, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\theta$ 是末知参数 $(0 < \theta < 1) . X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 记 $N$ 为样本值 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 中小于 1 的个数. 求 $\theta$ 的最大似然估计.