单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 附近有定义, 且 $f_{x}^{\prime}(0,0)=3, f_{y}^{\prime}(0,0)=1$, 则()
$\text{A.}$ $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=3 \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y$.
$\text{B.}$ 曲面 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0, f(0,0))$ 的法向量为 $(3,1,1)$.
$\text{C.}$ 曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=f(x, y) \\ y=0\end{array}\right.$, 在点 $(0,0, f(0,0))$ 的切向量为 $(1,0,3)$.
$\text{D.}$ 曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=f(x, y), \\ y=0\end{array}\right.$ 在点 $(0,0, f(0,0))$ 的切向量为 $(3,0,1)$.
设 $f(0)=0$, 则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 可导的充要条件为
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^{2}} f(1-\cos h)$ 存在.
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} f\left(1-\mathrm{e}^{h}\right)$ 存在.
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^{2}} f(h-\sin h)$ 存在.
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}[f(2 h)-f(h)]$ 存在.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{llll}4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ ()
$\text{A.}$ 合同且相似.
$\text{B.}$ 合同但不相似.
$\text{C.}$ 不合同但相似.
$\text{D.}$ 不合同且不相似.
将一枚硬币重复郑 $n$ 次, 以 $X$ 和 $Y$ 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 等于 $(\quad)$
$\text{A.}$ $-1$.
$\text{B.}$ 0 .
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ 1 .
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $y=\mathrm{e}^{x}\left(C_{1} \sin x+C_{2} \cos x\right)$ ( $C_{1}, C_{2}$ 为任意常数) 为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解, 则该方程为
设 $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, 则 $\left.\operatorname{div}(\operatorname{grad} r)\right|_{(1,-2,2)}=$
交换二次积分的积分次序 $\int_{-1}^{0} \mathrm{~d} y \int_{2}^{1-y} f(x, y) \mathrm{d} x=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}-4 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$, 其中 $\boldsymbol{E}$ 为单位矩阵, 则 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{-1}=$
设随机变量 $X$ 的方差为 2 , 则根据切比雪夫不等式有估计 $P\{|X-E(X)| \geqslant 2\} \leqslant$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\int \frac{\arctan \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x$.
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微, 且 $f(1,1)=1,\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(1,1)}=2,\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(1,1)}=3, \varphi(x)=f(x, f(x, x))$. 求 $\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \varphi^{3}(x)\right|_{x=1}$.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1+x^{2}}{x} \arctan x, & x \neq 0, \\ 1, & x=0,\end{array}\right.$ 试将 $f(x)$ 展开成 $x$ 的幂级数, 并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{1-4 n^{2}}$ 的和.
计算 $I=\oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$, 其中 $L$ 是平面 $x+y+z=2$ 与柱面 $|x|+|y|=1$ 的交线, 从 $z$ 轴正向看去, $L$ 为逆时针方向.
设 $y=f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内具有二阶连续导数且 $f^{\prime \prime}(x) \neq 0$, 试证:
(1) 对于 $(-1,1)$ 内的任一 $x \neq 0$, 存在唯一的 $\theta(x) \in(0,1)$, 使 $f(x)=f(0)+x f^{\prime}(\theta(x) x)$ 成立;
(2) $\lim _{x \rightarrow 0} \theta(x)=\frac{1}{2}$.
设有一高度为 $h(t)$ ( $t$ 为时间) 的雪堆在融化过程中, 其侧面满足方程 $z=h(t)-\frac{2\left(x^{2}+y^{2}\right)}{h(t)}($ 设长 度单位为厘米, 时间单位为小时), 已知体积减少的速率与侧面积成正比 (比例系数 $0.9$ ), 问高度为130 \text { (厘米) 的雪堆全部融化需多少小时? }
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{s}}$ 为线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系, $\boldsymbol{\beta}_{1}=t_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+t_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}=t_{1} \boldsymbol{\alpha}_{2}+t_{2} \boldsymbol{\alpha}_{3}, \cdots$, $\boldsymbol{\beta}_{s}=t_{1} \boldsymbol{\alpha}_{s}+t_{2} \boldsymbol{\alpha}_{1}$, 其中 $t_{1}, t_{2}$ 为实常数. 试问 $t_{1}, t_{2}$ 满足什么关系时, $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}$ 也为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个 基础解系.
已知 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 3 维向量 $\boldsymbol{x}$, 使得向量组 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{A x}, \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{x}$ 线性无关, 且满足
$$
A^{3} x=3 A x-2 A^{2} x \text {. }
$$
(1) 记 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{A x}, \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{x}\right)$, 求 3 阶矩阵 $\boldsymbol{B}$, 使 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P B P ^ { - 1 }}$;
(2) 计算行列式 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|$.
设某班车起点站上客人数 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布, 每位乘客在中途下车的概率为 $p(0 < p < 1)$, 且中途下车与否相互独立. 以 $Y$ 表示在中途下车的人数, 求:
(1) 在发车时有 $n$ 个乘客的条件下, 中途有 $m$ 人下车的概率;
(2) 二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布.
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$, 从该总体中抽取简单随机样本 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{2 n}(n \geqslant 2)$, 其样本均值为 $\bar{X}=\frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^{2 n} X_{i}$, 求统计量 $Y=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}+X_{n+i}-2 \bar{X}\right)^{2}$ 的数学期望 $E(Y)$.