单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
求值: $\frac{2 \sin 80^{\circ} \cos 20^{\circ}}{1+4 \cos 20^{\circ} \sin ^2 50^{\circ}}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
已知 $\alpha \in(0, \pi)$, 且 $3 \tan \alpha=10 \cos 2 \alpha$, 则 $\cos \alpha$ 可能为
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{10}}{10}$
$\text{B.}$ $-\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{10}}{10}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
已知函数 $f(x)=\cos x$, 函数 $g(x)$ 的图象可以由函数 $f(x)$的图象先向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度, 再将所得函数图象保持纵坐标不变, 横坐标变为原来的 $\frac{1}{\omega}(\omega>0)$ 倍得到,若函数 $g(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ 上没有零点, 则 $\omega$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{4}{9}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{4}{9}, \frac{8}{9}\right]$
$\text{C.}$ $\left(\frac{4}{9}, \frac{8}{9}\right]$
$\text{D.}$ $\left(0, \frac{8}{9}\right]$
已知正方形 $A B C D$ 的中心在坐标原点, 四个顶点都在函数 $f(x)=x^3+b x$ 的图象上. 若正方形 $A B C D$ 唯一确定, 则实数 $b$ 的值为 ( )
$\text{A.}$ $-\sqrt{2}$
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ $-2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ -4
已知 $f(x)=\sin \left(\omega x-\frac{\pi}{3}\right)(\omega \in N )$ 的图象与直线 $y=a$ 在区间 $[0, \pi]$上存在两个交点, 则当 $\omega$ 最大时, 曲线 $y=f(x)$ 的对称轴为（）
$\text{A.}$ $x=\frac{\pi}{24}+\frac{k \pi}{4}, k \in Z$
$\text{B.}$ $x=\frac{\pi}{30}+\frac{k \pi}{5}, k \in Z$
$\text{C.}$ $x=\frac{5 \pi}{24}+\frac{k \pi}{4}, k \in Z$
$\text{D.}$ $x=\frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{5}, k \in Z$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
在三角形 ABC 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a$, $b, c$, 已知 $\sin A=\sin B \sin C$, 则下列说法正确的是（）
$\text{A.}$ $\tan A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 a^2}$
$\text{B.}$ $S_{ V A B C}=\frac{1}{2} a^2$
$\text{C.}$ $\frac{\sin B}{\sin C}+\frac{\sin C}{\sin B}$ 有最大值
$\text{D.}$ $a^2 \leq \frac{4}{5} b c$
已知函数 $f(x)=\sin (x+\theta)+\cos (2 x+2 \theta)$, 则下列结论正确的是 ( )
$\text{A.}$ $\pi$ 是函数 $f(x)$ 的一个周期
$\text{B.}$ 存在 $\theta$, 使得函数 $f(x)$ 是偶函数
$\text{C.}$ 当 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 时, 函数 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ 当 $\theta=\pi$ 时, 函数 $f(x)$ 的图象关于点 $(2 \pi, 0)$ 中心对称
函数 $f(x)=a \sin x+b \cos x,(a b \neq 0)$ 的图像关于 $x=\frac{\pi}{6}$ 对称, 且 $f\left(x_0\right)=\frac{8}{5} a$, 则
$\text{A.}$ $b=\sqrt{3} a$
$\text{B.}$ $\cos \left(\frac{\pi}{6}-x_0\right)=\frac{4}{5}$
$\text{C.}$ $\cos \left(\frac{\pi}{3}-2 x_0\right)=\frac{24}{25}$
$\text{D.}$ $\sin \left(2 x_0+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{7}{25}$
已知函数 $f(x)=2 x-\tan x$, 则 ( )
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 不是周期函数
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 的图象只有一个中心对称点
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 的单调减区间为 $\left(2 k \pi-\frac{\pi}{4}, 2 k \pi+\frac{\pi}{4}\right), k \in Z$
$\text{D.}$ 曲线 $y=f(x)\left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right)$ 只有一条过点 $(1,0)$ 的切线
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
在锐角 ABC 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b$, $c, b=3, \sin A+a \sin B=2 \sqrt{3}$, 则 $\triangle A B C$ 周长的取值范围为
已知 $\sin \left(2 \alpha-\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{2}}{3}$, 则 $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) \tan \left(\alpha+\frac{\pi}{12}\right)=$
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, \angle A B C=120^{\circ}$, $\angle A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$, 且 $B D=2$, 则 $4 a+c$ 的最小值为
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a=\sqrt{2}, A=\frac{3 \pi}{4}$,若 $\lambda b+c$ 有最大值, 则实数 $\lambda$ 的取值范围是 .
记函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)(\omega>0)$ 的最小正周期为 $T$, 给出下列
三个命题:
甲: $T>3$;
乙: $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 上单调递减;
丙: $f(x)$ 在区间 $(0,3)$ 上恰有三个极值点.
若这三个命题中有且仅有一个假命题, 则假命题是 $\qquad$ (填甲乙丙); $\omega$ 的取值范围是 $\qquad$ .