混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题, 出现的一个创新病毒检测策略,混管检测结果为阴性, 则参与该混管检测的所有人均为阴性, 混管检测结果为阳性, 则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性. 假设一组样本有 $N$ 个人, 每个人患病毒的概率相互独立且均为 $p(0 < p < 1)$. 目前, 我们采用 $K$ 人混管病毒检测, 定义成本函数 $f(X)=\frac{N}{K}+K X$, 这里 $X$ 指该组样本 $N$ 个人中患病毒的人数.
(1) 证明: $E[f(X)] \geqslant 2 \sqrt{p} \cdot N$;
(2) 若 $0 < p < 10^{-4}, 10 \leqslant K \leqslant 20$. 证明: 某混管检测结果为阳性, 则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.