数学试题讲解

混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题, 出现的一个创新病毒检测策略,混管检测结果为阴性, 则参与该混管检测的所有人均为阴性, 混管检测结果为阳性, 则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性. 假设一组样本有

N

个人, 每个人患病毒的概率相互独立且均为

p (0 < p < 1)

. 目前, 我们采用

K

人混管病毒检测, 定义成本函数

f (X) = \frac{N}{K} + K X

, 这里

X

指该组样本

N

个人中患病毒的人数.
(1) 证明:

E [f (X)] ⩾ 2 \sqrt{p} \cdot N

;
(2) 若

0 < p < 10^{- 4}, 10 ⩽ K ⩽ 20

. 证明: 某混管检测结果为阳性, 则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.