已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 经过点 $A_1(2,0), A_2(4,0), A_3(2 \sqrt{2}, \sqrt{3}), A_4(2 \sqrt{2}$, $-\sqrt{3}), A_5(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ 中的 3 个点.
(1) 求双曲线 $C$ 的方程;
(2) 已知点 $M, N$ 是双曲线 $C$ 上与其顶点不重合的两个动点, 过点 $M, N$ 的直线 $l_1, l_2$ 都经过 双曲线 $C$ 的右顶点, 若直线 $l_1, l_2$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$, 且 $k_1+k_2=1$, 判断直线 $M N$ 是否 过定点. 若过定点, 求出该定点的坐标; 若不过定点, 请说明理由.