先将函数 $f(x)=2 \sin x$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度, 再将横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ (纵坐标不变), 得到 函数 $g(x)$ 的图象, 则下列关于函数 $g(x)$ 的说法中正确的是
A. 在 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{12}\right)$ 上单调递增
B. 当 $x \in\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ 时, 函数 $g(x)$ 的值域是 $[-2,1]$
C. 其图象关于直线 $x=\frac{5 \pi}{6}$ 对称
D. 直线 $y=2 \sqrt{3} x-1$ 为曲线 $y=g(x)$ 的切线