已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$, 左, 右焦点分别为 $F_1, F_2$, 过点 $F_1$ 的直线与椭圆相交 于点 $A, B$, 且 $\triangle F_2 A B$ 的周长为 8 .
(1)求粗圆的标准方程;
(2) 椭圆 $C$ 的左, 右顶点分别为 $A_1, A_2$, 上顶点为 $D$, 若过 $A_2$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 在第一象限相 交于点 $Q$, 与直线 $A_1 D$ 相交于点 $P$, 与 $y$ 轴相交于点 $M$, 且满足 $\left|P A_2\right| \cdot|M Q|=5\left|Q A_2\right| \cdot|M P|$, 求直线 $l$ 的方 程.