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已知函数 $f(x)=\frac{x^2+(3 a+1) x+c}{x+a}$, 其中 $a, c \in R$.
(1) 当 $a=0$ 时, 求 $f(x)$ 的定义域, 并判断是否存在实数 $c$, 使得 $f(x)$ 是奇函数;
(2) 若函数 $f(x)$ 的图像过点 $(1,3)$, 且与 $x$ 轴的负半轴有两个交点, 求实数 $c$ 的值和实数 $a$ 的取值范围.
                        
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