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设函数 $f(x) \in C[0, \pi]$, 满足 $\int_0^\pi f(x) d x=0$, 证明:
(1) 存在 $\xi \in(0, \pi)$, 使得 $f(\xi)=0$;
(2) 若同时还满足 $\int_0^\pi f(x) \cos x d x=0$, 则存在不同的 $\eta_1, \eta_2$ 使得 $f\left(\eta_1\right)=f\left(\eta_2\right)=0$.
                        
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