如图, 将 $\square A B C D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转到 $\square A B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 的位置使点 $B^{\prime}$ 落在 $B C$ 上, $B^{\prime} C^{\prime}$ 与 $C D$ 交于点 $E, D C^{\prime}$ 与 $B C$ 的延长线交于点 $F, A E$ 的延长线与 $B C$ 的延长线交于点 $G$, 若 $A B=3, B C=4, B B^{\prime}$ $=1$, 则 $F G$ 的长为
