已知抛物线 $y=m x^2-(1-4 m) x+c$ 过点 $(1, a) ，(-1, a) ，(0,-1)$.
(1) 求该抛物线的解析式.
（2 ) 已知过原点的直线与该抛物线交于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 右侧)，该抛物线的顶点为 $C$ ， 连接 $A C ， B C$ ，点 $D$ 在点 $A ， C$ 之间的抛物线上运动（不与点 $A ， C$ 重合) . 当点 $A$ 的横坐 标是 4 时，若 $\triangle A B C$ 的面积与 $\triangle A B D$ 的面积相等，求点 $D$ 的坐标.
（3）若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线 相切. 已知点 $F$ 的坐标是 $(0,1)$ ，过该抛物线上的任意一点 (除顶点外) 作该抛物线的切线 $l$ ，分别交直线 $y=1$ 和 $y=-3$ 直线于点 $P ， Q$ ，求 $F P^2-F Q^2$ 的值.