已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $\mathrm{R}$, 若 $f\left(x+\frac{2}{3}\right)$ 为奇函数, $f\left(2 x-\frac{1}{3}\right)$ 的图象关于 $y$ 轴对称, 则 下列结论中一定正确的是
A. $f\left(\frac{2}{3}\right)=0$
B. $f(0)=f\left(-\frac{2}{3}\right)$
C. $f^{\prime}(0)=f^{\prime}\left(-\frac{2}{3}\right)$
D. $f^{\prime}\left(-\frac{1}{3}\right)=0$