甲袋中装有 4 个白球, 2 个红球和 2 个黑球, 乙袋中装有 3 个白球, 3 个红球和 2 个黑球. 先从甲袋中随机 取出一球放入乙袋, 再从乙袋中随机取出一球. 用 $A_1, A_2, A_3$ 分别表示田袋取出的球是白球、红球和黑球, 用 $B$ 表示乙袋取出的球是白球，则
A. $A_1, A_2, A_3$ 两两互斥
B. $P\left(B \mid A_2\right)=\frac{1}{3}$
C. $A_3$ 与 $B$ 是相互独立事件
D. $P(B)=\frac{1}{3}$