已知抛物线 $y=a x^{2}-2 x+1(a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x=1$.
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 若点 $M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 都在此抛物线上, 且 $-1 < x_{1} < 0,1 < x_{2} < 2$. 比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小, 并说明理由;
(3) 设直线 $y=m(m>0)$ 与抛物线 $y=a x^{2}-2 x+1$ 交于点 $A 、 B$, 与抛物线 $y=3(x-1)^{2}$ 交于 点 $C, D$, 求线段 $A B$ 与线段 $C D$ 的长度之比.