在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 已知抛物线 $y=a x^2+b x-\sqrt{3}(a \neq 0)$ 经过 $A(-1,0) 、 B(3,0)$ 两点, 交 $y$ 轴于点 $C$, 顶点为 $E$. 过线段 $O B$ 上动点 $F$ 作 $C F$ 的垂线交 $B C$ 于点 $D$, 直线 $D E$ 交 $y$ 轴于点 $G$.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若 $C G=C D$, 求线段 $O F$ 的长;
(3)连接 $C E$, 求 $\triangle C D E$ 面积的最小值.