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已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} x^2+a x-2 a^2 \ln x$.
（1）讨论函数 $f(x)$ 的单调性;
(2) 若 $a>0, x_1, x_2$ 是 $f(x)$ 的两个不相等的零点, 证明: $f^{\prime}\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>0$.
                        
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