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已知椭圆 $C: \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ 的上、下顶点分别为 $A_1 、 A_2$, 点 $P$ 是椭圆 $C$ 上异于 $A_1 、 A_2$ 的 动点, 记 $k_1, k_2$ 分别为直线 $P A_1, P A_2$ 的斜率. 点 $Q$ 满足 $Q A_1 \perp P A_1, Q A_2 \perp P A_2$.
（1）证明： $k_1 k_2$ 是定值, 并求出该定值;
(2) 求动点 $Q$ 的轨迹方程.
                        
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