在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \varphi, \\ y=\sqrt{2} \sin \varphi\end{array}\right.$ (其中 $\varphi$ 为参数), 以 $O$ 为极点, $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $\rho \cos ^2 \theta+4 \cos \theta-\rho=0$.
(1) 求曲线 $C_1$ 的普通方程和曲线 $C_2$ 的直角坐标方程;
(2) 射线 $l: \theta=\alpha$ 与曲线 $C_1, C_2$ 分别交于点 $A, B$ (均异于极点), 当 $\frac{\pi}{4} \leqslant \alpha \leqslant \frac{\pi}{3}$ 时, 求 $\frac{|O B|}{|O A|}$ 的最小值.