在平面直角坐标系中, $O$ 为坐标原点, 点 $A(-1,0) 、 B\left(0,-\frac{5}{2}\right)$ 在抛物线 $y=\frac{1}{2} x^2+b x+c$ 上, 点 $C$ 为该抛物线的顶点. 点 $P$ 为该抛物线上一点, 其横坐标为 $m$.
(1) 求该抛物线对应的函数关系式.
(2) 连结 $B P$, 当 $B P \perp y$ 轴时, 顺次连结点 $A 、 B 、 C 、 P$, 求四边形 $A B C P$ 的面积.
(3) 当 $m>0$ 时, 设该抛物线在点 $B$ 与点 $P$ 之间 (包含点 $B$ 和点 $P$ ) 的部分图象的最低点和 最高点到 $x$ 轴的距离分别为 $k 、 n$, 若 $k-n=2$, 求 $m$ 的取值范围.
(4) 当点 $P$ 在第四象限时, 作点 $P$ 关于点 $O$ 的对称点 $Q$, 以 $P Q$ 为对角线构造矩形 $P M Q N$, 该矩形的边均与坐标轴垂直, 且点 $A 、 B$ 在该矩形的内部. 设抛物线在该矩形内部及边 界的图象记为 $G$, 图象 $G$ 的最高点与最低点的纵坐标之差为 $d$, 最低点在该矩形边所在 的直线记为 $l$, 若点 $C$ 到直线 $l$ 的距离等于 $\frac{1}{7} d$, 直接写出 $m$ 的值.