椭圆曲线加密算法运用于区块链
椭圆曲线 $C=\left\{(x, y) \mid y^2=x^3+a x+b, 4 a^3+27 b^2 \neq 0\right\} . P \in C$ 关于 $x$ 轴的对称点记为 $\tilde{P} . C$
在点 $P(x, y)(y \neq 0)$ 处的切线是指曲线 $y=\pm \sqrt{x^3+a x+b}$ 在点 $P$ 处的切线定义 " $\oplus$ " 运算满 足 :
①若 $P \in C ， Q \in C$, 且直线 $P Q$ 与 $C$ 有第三个交点 $R$, 则 $P \oplus Q=\tilde{R}$;
②若 $P \in C ， Q \in C$ ， 且 $P Q$ 为 $C$ 的切线，切点为 $P$ ，则 $P \oplus Q=\tilde{P}$ ；③若 $P \in C$ ，规定 $P \oplus \tilde{P}=0^*$ ，且 $P \oplus 0^*=0^* \oplus P=P$.
(1) 当 $4 a^3+27 b^2=0$ 时，讨论函数 $h(x)=x^3+a x+b$ 零点的个数；
(2) 已知 " $\oplus$ " 运算满足交换律、结合律，若 $P \in C ， Q \in C$ ，且 $P Q$ 为 $C$ 的切线，切点为 $P$ ，证明 : $P \oplus P=\tilde{Q}$ ；
(3) 已知 $P\left(x_1, y_1\right) \in C ， Q\left(x_2, y_2\right) \in C$ ，且直线 $P Q$ 与 $C$ 有第三个交点，求 $P \oplus Q$ 的坐标.
参考公式 : $m^3-n^3=(m-n)\left(m^2+m n+n^2\right)$