已知函数 $f(x)=\cos (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,-\frac{\pi}{2} < \varphi < \frac{\pi}{2}\right)$, 将 $y=f(x)$ 的图象上所有点向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度, 然后横坐标伸长为原来的 2 倍, 纵坐标不变, 得到函数 $y=g(x)$ 的图象. 若 $g(x)$ 为奇函数,且最小正周期为 $\pi$, 则下列说法正确的是
A. 函数 $f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ 中心对称
B. 函数 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ 上单调递减
C. 不等式 $g(x) \geqslant \frac{1}{2}$ 的解集为 $\left[k \pi-\frac{5 \pi}{12}, k \pi-\frac{\pi}{12}\right](k \in \mathrm{Z})$
D. 方程 $f\left(\frac{x}{2}\right)=g(x)$ 在 $(0, \pi)$ 上有 2 个解