设函数 $f(x)=\frac{e}{2 x}+\ln x(x>0)$.
(1) 求 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 已知 $a, b \in \mathbf{R}$, 曲线 $y=f(x)$ 上不同的三点 $\left(x_1, f\left(x_1\right)\right),\left(x_2, f\left(x_2\right)\right),\left(x_3, f\left(x_3\right)\right)$ 处的切线 都经过点 $(a, b)$. 证明:
(i) 若 $a>e$, 则 $0 < b-f(a) < \frac{1}{2}\left(\frac{a}{e}-1\right)$;
(ii) 若 $0 < a < e, x_1 < x_2 < x_3$, 则 $\frac{2}{e}+\frac{e-a}{6 e^2} < \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_3} < \frac{2}{a}-\frac{e-a}{6 e^2}$.
(注: $e=2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数)