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在平面直角坐标系中, 已知点 $A(1,2), B(2,3), C(2,1)$, 直线 $y=x+m$ 经过点 $A$, 抛物线 $y=a x^{2}+b x+1$ 恰好经过 $A, B, C$ 三点中的两点.
(1) 判断点 $B$ 是否在直线 $y=x+m$ 上, 并说明理由;
(2) 求 $a, b$ 的值;
(3) 平移抛物线 $y=a x^{2}+b x+1$, 使其顶点仍在直线 $y=x+m$ 上, 求平移后所得抛物线与 $y$ 轴交点纵坐标的最大值.
                        
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