已知椭圆 $C_1: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}, P\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 为椭圆上一点, $A, B$ 为椭 圆上不同两点, $O$ 为坐标原点,
(1) 求椭圆 $C$ 的方程;
(2) 线段 $A B$ 的中点为 $M$, 当 $\triangle A O B$ 面积取最大值时, 是否存在两定点 $G, H$, 使 $|G M|+|H M|$ 为定值? 若存在, 求出这个定值; 若不存在, 请说明理由.