（2023－安徽合肥－合肥市第七中学校考三模）以边长为 2 的等边三角形 $A B C$ 每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知 $P$ 为弧 $A C$ 上的一点，且 $\angle P B C=\frac{\pi}{6}$ ，则 $\overrightarrow{B P} \cdot \overrightarrow{C P}$ 的值为.
A. $4-\sqrt{2}$
B. $4+\sqrt{2}$
C. $4-2 \sqrt{3}$
D. $4+2 \sqrt{3}$