综合与实践主题：废料再利用，瓷砖的密铺与优化设计
【项目情境】某工地在铺设地面过程中，产生了一批规格相同的三角形瓷砖废料。为了废料利用，工人师傅希望从这些三角形瓷砖中，切割出对边分别平行且相等的六边形（称为＂平行六边形＂）瓷砖，并用于地面铺设。现需解决两个问题：仅用这种平行六边形能否铺满地面；在一定条件下，为了充分利用三角形瓷砖，如何切割才能使得平行六边形的面积最大．
【活动一：密铺可行性探究】猜想：仅用规格相同的＂平行六边形＂可以铺满地面，铺设效果如图 1 所示．如图 2，平行六边形 $A B C D E F$ 中，$A F / / C D, A B / / D E, B C / / E F, A F=C D$ ，
$$
A B=D E, B C=E F .
$$
试说明：平行六边形 $A B C D E F$ 可以铺满地面．
证明：连接 $A D$ ，
$$
\mathrm{Q} A F / / C D, A B / / D E \text {, }
$$
$$
\therefore \angle F A D=\angle A D C, \angle B A D=\text { (1), }
$$
$$
\therefore \angle B A F=(2),
$$
同理，$\angle B=\angle E, \angle C=\angle F$ ，
$\because$ 六边形的内角和为 $720^{\circ}$ ，
$$
\begin{aligned}
& \therefore 2(\angle B A F+\angle B+\angle C)=720^{\circ}, \\
& \therefore \angle B A F+\angle B+\angle C=(3) .
\end{aligned}
$$
即在每个顶点周围放置三个规格相同的平行六边形，恰好组成一个周角，所以可以铺满地面．
【活动二：废料图形性质探究】按图 3 的方式，从三角形瓷砖中切割出一个平行六边形后，会产生三个新的小三角形：$\triangle P A F, \triangle B Q C, \triangle E D R$ ，它们都与 $\triangle P Q R$ 相似，记它们与 $\triangle P Q R$ 的相似比分别为 $k_1, k_2, k_3$ ，探究 $k_1, k_2, k_3$ 的数量关系．
【活动三：面积最大化探究】在一定条件下，为了充分利用三角形瓷砖，如何切割才能使得平行六边形的面积最大？记 $\triangle P A F, \triangle B Q C, \triangle E D R$ ，六边形 $A B C D E F, \triangle P Q R$ 的面积分别为 $S_1, S_2, S_3, S_4, S$ ，探究 $\frac{S_4}{S}$ 的最大值．
阅读以上材料，并回答下列问题：
（1）补全活动一证明过程（1）（2）（3）所缺的内容；
（2）活动二探究中，$k_1+k_2+k_3$ 是否定值，若是，请说明理由；若不是，请举一个反例说明．
（3）活动三探究中，当 $k_1=\frac{1}{3}$ 时，求 $\frac{S_4}{s}$ 的最大值．
【项目情境】某工地在铺设地面过程中，产生了一批规格相同的三角形瓷砖废料。为了废料利用，工人师傅希望从这些三角形瓷砖中，切割出对边分别平行且相等的六边形（称为＂平行六边形＂）瓷砖，并用于地面铺设。现需解决两个问题：仅用这种平行六边形能否铺满地面；在一定条件下，为了充分利用三角形瓷砖，如何切割才能使得平行六边形的面积最大．
【活动一：密铺可行性探究】猜想：仅用规格相同的＂平行六边形＂可以铺满地面，铺设效果如图 1 所示．如图 2，平行六边形 $A B C D E F$ 中，$A F / / C D, A B / / D E, B C / / E F, A F=C D$ ，
$$
A B=D E, B C=E F .
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试说明：平行六边形 $A B C D E F$ 可以铺满地面．
证明：连接 $A D$ ，
$$
\mathrm{Q} A F / / C D, A B / / D E \text {, }
$$
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\therefore \angle F A D=\angle A D C, \angle B A D=\text { (1), }
$$
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\therefore \angle B A F=(2),
$$
同理，$\angle B=\angle E, \angle C=\angle F$ ，
$\because$ 六边形的内角和为 $720^{\circ}$ ，
$$
\begin{aligned}
& \therefore 2(\angle B A F+\angle B+\angle C)=720^{\circ}, \\
& \therefore \angle B A F+\angle B+\angle C=(3) .
\end{aligned}
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即在每个顶点周围放置三个规格相同的平行六边形，恰好组成一个周角，所以可以铺满地面．
【活动二：废料图形性质探究】按图 3 的方式，从三角形瓷砖中切割出一个平行六边形后，会产生三个新的小三角形：$\triangle P A F, \triangle B Q C, \triangle E D R$ ，它们都与 $\triangle P Q R$ 相似，记它们与 $\triangle P Q R$ 的相似比分别为 $k_1, k_2, k_3$ ，探究 $k_1, k_2, k_3$ 的数量关系．
【活动三：面积最大化探究】在一定条件下，为了充分利用三角形瓷砖，如何切割才能使得平行六边形的面积最大？记 $\triangle P A F, \triangle B Q C, \triangle E D R$ ，六边形 $A B C D E F, \triangle P Q R$ 的面积分别为 $S_1, S_2, S_3, S_4, S$ ，探究 $\frac{S_4}{S}$ 的最大值．
阅读以上材料，并回答下列问题：
（1）补全活动一证明过程（1）（2）（3）所缺的内容；
（2）活动二探究中，$k_1+k_2+k_3$ 是否定值，若是，请说明理由；若不是，请举一个反例说明．
（3）活动三探究中，当 $k_1=\frac{1}{3}$ 时，求 $\frac{S_4}{s}$ 的最大值．