设 $\omega \in \mathbf{R}$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right), x \geq 0, \\ \frac{3}{2} x^2+4 \omega x+\frac{1}{2}, x < 0,\end{array} \quad g(x)=\omega x\right.$ ．若 $f(x)$ 在 $\left(-\frac{1}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增，且函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象有三个交点，则 $\omega$ 的取值范围是
A. $\left(\frac{1}{4}, \frac{2}{3}\right]$
B. $\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3}\right]$
C. $\left[\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$
D. $\left[-\frac{4}{3}, 0\right) \mathrm{U}\left[\frac{1}{4}, \frac{2}{3}\right]$