已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} \sin \omega x-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \omega x(\omega>0)$ 的零点是以 $\frac{\pi}{2}$ 为公差的等差数列．若 $f(x)$ 在区间 $[0, \alpha]$ 上单调递增，则 $\alpha$ 的取值范围为（ ）
A. $\left(0, \frac{5 \pi}{12}\right]$
B. $\left(0, \frac{7 \pi}{12}\right]$
C. $\left(0, \frac{5 \pi}{24}\right)$
D. $\left(0, \frac{7 \pi}{24}\right]$