已知函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin \omega x-\cos \omega x(\omega>0)$ 在区间 $\left[-\frac{2 \pi}{5}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ 上单调递增，若存在唯一的实数 $x_0 \in(0, \pi)$ ，使得 $f\left(x_0\right)=2$ ，则 $\omega$ 的取值范围是（ ）
A. $\left(\frac{2}{3}, \frac{8}{3}\right]$
B. $\left(\frac{2}{3}, \frac{5}{6}\right]$
C. $\left(\frac{2}{3}, \frac{8}{9}\right]$
D. $\left[\frac{5}{6}, \frac{8}{9}\right]$