已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)(\omega>0)$ 在区间 $\left[-\frac{5 \pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上单调递增，且 $f(x)$在区间 $\left[0, \frac{5 \pi}{6}\right]$ 上只取得一次最大值，则 $\omega$ 的取值范围为（ ）
A. $\left[\frac{1}{5}, \frac{1}{2}\right]$
B. $\left[\frac{2}{5}, \frac{1}{2}\right]$
C. $\left[\frac{1}{5}, \frac{4}{5}\right]$
D. $\left[\frac{2}{5}, \frac{4}{5}\right]$