已知函数 $f(x)=\sin \omega x+\cos \omega x(\omega>0)$ 的图象的一个对称中心的横坐标在区间 $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内，且两个相邻对称中心之间的距离大于 $\frac{\pi}{3}$ ，则 $\omega$ 的取值范围为
A. $(0,3)$
B. $\left(\frac{3}{2}, 3\right)$
C. $\left(0, \frac{3}{2}\right)$
D. $(1,3)$