已知函数 $f(x)=\sin \omega x+\cos \omega x, g(x)=\cos \omega x-\sin \omega x, \omega>0$ ，在区间 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上，若 $f(x)$ 为增函数，$g(x)$ 为减函数，则 $\omega$ 的取值范围是
A. $\left(0, \frac{1}{2}\right]$
B. $(0,1]$
C. $\left(0, \frac{3}{2}\right]$
D. $\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$