函数 $f(x)=2 \sin (2 x+\varphi)\left(|\varphi| < \frac{\pi}{2}\right)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度后对应的函数是奇函数，函数 $g(x)=(1+\sqrt{3}) \cos 2 x$ ．若关于 $x$ 的方程 $f(x)+g(x)=-\frac{1}{2}$ 在 $[0, \pi)$ 内有两个不同的解 $\alpha, \beta$ ，则 $\cos (\alpha-\beta)$ 的值为（ ）
A. $-\frac{\sqrt{2}}{4}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{4}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$