已知直线 $C_{1}\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos \alpha \\ y=t \sin \alpha\end{array}\right.$ (t 为参数) , $C_{2}\left\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数),
（I）当 $\alpha=\frac{\pi}{3}$ 时, 求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的交点坐标;
(II) 过坐标原点 $O$ 做 $C_{1}$ 的垂线, 垂足为 $A, P$ 为 $O A$ 中点, 当 $\alpha$ 变化时, 求 $P$ 点的轨迹的参数方程, 并指出它是什么曲线.