设函数 $f(x)=\frac{1}{2} \sin (\omega x+\varphi)$ 其中 $\omega>0,|\varphi| < \pi$ ．若 $f\left(\frac{10 \pi}{9}\right)=0, f\left(\frac{28 \pi}{9}\right)=\frac{1}{2}$ ，且相邻两个极值点之间的距离大于 $\pi, f^{\prime}(\pi) < 0$ ，设 $g(x)=f(x)+f^{\prime}(x)$ ，则
A. $\omega=\frac{1}{4}$
B. $\varphi=\frac{\pi}{6}$
C. $g(x)$ 在 $(3 \pi, 4 \pi)$ 上单调递减
D. $g(x)$ 在 $(0,2 \pi)$ 上存在唯一极值点