已知函数 $f(x)=\sin (2 x+\varphi)\left(-\frac{\pi}{2} < \varphi < \frac{\pi}{2}\right)$ 的图象关于直线 $x=\frac{3}{8} \pi$ 对称，那么
A. 函数 $f\left(x+\frac{\pi}{8}\right)$ 为奇函数
B. 函数 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{11}{8} \pi,-\frac{7}{8} \pi\right]$ 上单调递增
C. 若 $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|=2$ ，则 $\left|x_1-x_2\right|$ 的最小值为 $\frac{\pi}{2}$
D. 函数 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{3}{8} \pi$ 个单位长度得到 $g(x)$ 的图象，则 $g(x) \cdot(-\cos x)$ 的最大值为 $\frac{4}{9} \sqrt{3}$