已知曲线 $y=\sin (2 x+\varphi)$ 关于 $y$ 轴对称，$y=\sin (2 x+2 \varphi)$ 关于原点对称，设函数 $f(x)=\sin (2 x+\varphi)+\sin (2 x+2 \varphi)$ ，则
A. $\varphi=\frac{\pi}{4}+2 k \pi(k \in Z)$
B. $f\left(\frac{\pi}{8}+k \pi\right)=f\left(\frac{3 \pi}{8}+k \pi\right)(k \in Z)$
C. 函数 $f(x)$ 的最小正周期是 $\pi$
D. 函数 $f(x)$ 的值域是 $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$