已知函数 $f(x)=\cos (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,-\frac{\pi}{2} < \varphi < -\frac{\pi}{6}\right)$ ，其图像上相邻的两个最高点之间的距离为 $\pi, f(x)$ 在 $\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{8}\right]$ 上是单调函数，则下列说法不正确的是
A. $\varphi$ 的最大值为 $-\frac{\pi}{4}$
B. $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的图像与直线 $y=1$ 没有交点
C. $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上没有对称轴
D. $f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{4}\right]$ 上有一个零点