已知函数 $f(x)=3 \sin (2 x+\varphi)$ 的初相为 $\frac{\pi}{6}$ ，则下列结论正确的是
A. $f(x)$ 的图象关于直线 $x=-\frac{\pi}{3}$ 对称
B. 函数 $f(x)$ 的一个单调递减区间为 $\left[-\frac{5 \pi}{6},-\frac{\pi}{3}\right]$
C. 若把函数 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度得到函数 $g(x)$ 的图象，则 $g(x)$ 为偶函数
D. 若函数 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的值域为 $\left[-\frac{3}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right]$