已知数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 中，$a_1=b_1=c_1=1, c_n=a_{n+1}-a_n, c_{n+1}=\frac{b_n}{b_{n+2}} \cdot c_n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ．
（I）若数列 $\{b_n\}$ 为等比数列，且公比 $q>0$ ，且 $b_1+b_2=6 b_3$ ，求 $q$ 与 $\{a n\}$ 的通项公式；
（II）若数列 $\{b_n\}$ 为等差数列，且公差 $d>0$ ，证明：$c_1+c_2+\mathrm{L}+c_n < 1+\frac{1}{d} .\left(n \in N^*\right)$