设 $D=(0,+\infty) \times(-\infty,+\infty)$ 。
（1）若定义在 $D$ 上的二元函数 $u=u(x, y)$ 具有连续的二阶偏导数且满足 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=0,(x, y) \in D$ 。证明：$u(x, y)=f(x)+g(y),(x, y) \in D$ ，其中 $f(x), g(y)$ 是二阶连续可导的函数；
（2）若定义在区域 $D$ 上的二元正值函数 $u=u(x, y)$ 具有连续的二阶偏导数且满足 $u \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}= \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y},(x, y) \in D$ 。验证 $z=\ln u(x, y)$ 满足 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=0,(x, y) \in D ;$
（3）设二元正值函数 $u=u(x, y)$ 具有连续的二阶偏导数且满足
$$
\begin{cases}u \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y}, & (x, y) \in D, \\ u(x, 0)=x \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}, & x \in(0,+\infty) ; \\ u(1, y)=\mathrm{e}^{-\frac{1+y^2}{2}}, & y \in(-\infty,+\infty) .\end{cases}
$$
试给出 $u(x, y)$ 的表达式。