设三维空间中四点 $A, B, C, D$ 所形成的三个向量 $\overrightarrow{A B}=(2, a, 0), \overrightarrow{A C}= (0,-1,2), \overrightarrow{A D}=(2, b, 1)$ ，其中 $a>0, b < \frac{1}{2}$ 。已知 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$ 作为相邻两边所成的平行四边形的面积为 $2 \sqrt{6}, \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}$ 作为共顶点三条棱所成的平行六面体的体积为 2 。
（1）求 $a, b$ 的值；
（2）求平行于向量 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}$ 且过点 $(2,3,4)$ 的平面的方程；
（3）求函数 $f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2+x y z$ 在点 $(1,2,1)$ 的梯度以及在该点沿 $\overrightarrow{A B}$ 方向的方向导数。