某校 20 名学生的数学成绩 $x_i(i=1,2, ..., 20)$ 和知识竞赛成绩 $y_i(i=1,2, ..., 20)$ 如下表：
计算可得数学成绩的平均值是 $\bar{x}=75$ ，知识竞赛成绩的平均值是 $\bar{y}=90$ ，并且 $\sum_{i=1}^{20}\left(x_i-\bar{x}\right)^2=6464$ ， $\sum_{i=1}^{20}\left(y_i-\bar{y}\right)^2=149450, \sum_{i=1}^{20}\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)=21650$.
（1）求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到 0.01 ）．
（2）设 $N \in \mathrm{~N}^*$ ，变量 $x$ 和变量 $y$ 的一组样本数据为 $\left\{\left(x_i, y_i\right) \mid i=1,2, \mathrm{~L}, N\right\}$ ，其中 $x_i(i=1,2, \mathrm{~L}, N)$ 两两不相同， $y_i(i=1,2, \mathrm{~L}, N)$ 两两不相同。记 $x_i$ 在 $\left\{x_n \mid n=1,2, \mathrm{~L}, N\right\}$ 中的排名是第 $R_i$ 位，$y_i$ 在 $\left\{y_n \mid n=1,2, \mathrm{~L}, N\right\}$ 中的排名是第 $S_i$ 位，$i=1,2, \mathrm{~L}, N$ 。定义变量 $x$ 和变量 $y$ 的＂斯皮尔曼相关系数＂（记为 $\rho$ ）为变量 $x$ 的排名和变量 $y$ 的排名的样本相关系数．
（i）记 $d_i=R_i-S_i, \quad i=1,2, \mathrm{~L}, N$ ．证明：$\rho=1-\frac{6}{N\left(N^2-1\right)} \sum_{i=1}^N d_i^2$ ．
（ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的＂斯皮尔曼相关系数＂（精确到 0.01 ）．
（3）比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述＂斯皮尔曼相关系数＂在分析线性相关性时的优势．
参考公式
计算可得数学成绩的平均值是 $\bar{x}=75$ ，知识竞赛成绩的平均值是 $\bar{y}=90$ ，并且 $\sum_{i=1}^{20}\left(x_i-\bar{x}\right)^2=6464$ ， $\sum_{i=1}^{20}\left(y_i-\bar{y}\right)^2=149450, \sum_{i=1}^{20}\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)=21650$.
（1）求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到 0.01 ）．
（2）设 $N \in \mathrm{~N}^*$ ，变量 $x$ 和变量 $y$ 的一组样本数据为 $\left\{\left(x_i, y_i\right) \mid i=1,2, \mathrm{~L}, N\right\}$ ，其中 $x_i(i=1,2, \mathrm{~L}, N)$ 两两不相同， $y_i(i=1,2, \mathrm{~L}, N)$ 两两不相同。记 $x_i$ 在 $\left\{x_n \mid n=1,2, \mathrm{~L}, N\right\}$ 中的排名是第 $R_i$ 位，$y_i$ 在 $\left\{y_n \mid n=1,2, \mathrm{~L}, N\right\}$ 中的排名是第 $S_i$ 位，$i=1,2, \mathrm{~L}, N$ 。定义变量 $x$ 和变量 $y$ 的＂斯皮尔曼相关系数＂（记为 $\rho$ ）为变量 $x$ 的排名和变量 $y$ 的排名的样本相关系数．
（i）记 $d_i=R_i-S_i, \quad i=1,2, \mathrm{~L}, N$ ．证明：$\rho=1-\frac{6}{N\left(N^2-1\right)} \sum_{i=1}^N d_i^2$ ．
（ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的＂斯皮尔曼相关系数＂（精确到 0.01 ）．
（3）比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述＂斯皮尔曼相关系数＂在分析线性相关性时的优势．
参考公式