设函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上具有二阶连续导数, 证明:
(I) 若 $f(0)=0$, 则存在 $\xi \in(-a, a)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]$;
(II) 若 $f(x)$ 在 $(-a, a)$ 内取得极值, 则存在 $\eta \in(-a, a)$ 使得
$$
\left|f^{\prime \prime}(\eta)\right| \geq \frac{1}{2 a^2}|f(a)-f(-a)| .
$$