如图所示，物块 $A$ 放在倾斜的木板上，已知木板的倾角 $\alpha$ 分别为 $30^{\circ}$ 和 $45^{\circ}$ 时物块所受摩擦力的大小恰好相同，则物块和木板间的动摩擦因数为
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$