已知椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左顶点为 $A$ ，下顶点为 $B$ ，长轴长为 4 ，且过点 $\left(1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ．
（1）求 $\Gamma$ 的方程；
（2）点 $\boldsymbol{P}$ 为椭圆 $\Gamma$ 在第一象限上任一点，直线 $\boldsymbol{A P}$ 交 $\boldsymbol{y}$轴于点 $\boldsymbol{C}$ ，直线 $\boldsymbol{B P}$ 交 $\boldsymbol{x}$ 轴于点 $\mathbf{D}$ ．
（i）若四条直线 $A P, B P, A B, C D$ 的斜率分别记为 $k_1, k_2, k_3, k_4$ ，证明：$\quad k_1 k_2=k_3 k_4$ ；
（ii）记 $\triangle P C D$ 的面积为 $S_1$ ，四边形 $A B D C$ 的面积为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的最大值．