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(2023．天津•统考高考真题）已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\right) \ln (x+1)$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=2$ 处切线的斜率；
（2）当 $x>0$ 时，证明：$f(x)>1$ ；
（3）证明：$\frac{5}{6} < \ln (n!)-\left(n+\frac{1}{2}\right) \ln (n)+n \leq 1$ ．
                        
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