已知函数 $f(x)=\ln (x+a)-a x$.
(1) 若 $f(x) \leqslant 0$ 恒成立, 求实数 $a$ 的最大值;
(2) 设 $n \in \mathbf{N}^*, n \geqslant 2$, 求证: $\left(1+\frac{1}{3 \sqrt{2}}\right)\left(1+\frac{1}{4 \sqrt{3}}\right)\left(1+\frac{1}{5 \sqrt{4}}\right) \cdots\left[1+\frac{1}{(n+1) \sqrt{n}}\right] < \frac{2}{3} \mathrm{e}^2$.